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<title>Primkörper</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Primkörper</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der <b>Primkörper</b> ist ein Begriff aus dem <a href="Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">mathematischen Teilgebiet</a> <a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a> mit zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Zum einen wird der kleinste Teilkörper eines <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körpers</a> als dessen Primkörper bezeichnet, zum anderen wird der Begriff für <a href="Endlicher_K%C3%B6rper" title="Endlicher Körper">endliche Körper</a> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> Elementen verwendet, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> eine <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a> ist.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Beide Definitionen sind eng verwandt, da der Primkörper eines Körpers mit <a href="Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Primzahlcharakteristik</a> ein Primkörper gemäß der zweiten Definition ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Isomorphietyp_der_Primkörper"><span id="Isomorphietyp_der_Primk.C3.B6rper"></span>Isomorphietyp der Primkörper</h2></div>

<p>Die <a href="Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Charakteristik</a> eines Körpers legt den Isomorphietyp seines Primkörpers fest. Da ein Körper immer ein <a href="Integrit%C3%A4tsring#Charakteristik" title="Integritätsring">Integritätsring</a> ist, kann seine Charakteristik nur 0 oder eine Primzahl sein. Ist die Charakteristik 0, so ist der Primkörper isomorph zum Körper <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span> der <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a>. Dies impliziert, dass Körper, deren Charakteristik 0 ist, immer unendlich sind, schließlich enthalten sie immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span>. Ist sie hingegen eine Primzahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>, so ist der Primkörper isomorph zum <a href="Restklassenk%C3%B6rper" title="Restklassenkörper">Restklassenkörper</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}</annotation>

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<mover>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9af6f6c7f5264a619a1953b6c8fd7fbf4cf81dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.594ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}}}" loading="lazy"></span> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}">

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</msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d35035371db7bee93733c68c1802114c17d8bb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.479ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}" loading="lazy"></span> oder der Körper <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(X)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(X)}</annotation>

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<msub>

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</msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}</annotation>

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</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Eigenschaften_von_Primkörpern"><span id="Weitere_Eigenschaften_von_Primk.C3.B6rpern"></span>Weitere Eigenschaften von Primkörpern</h2></div>

<ul><li>Der Primkörper ist der Durchschnitt aller Teilkörper eines Körpers.</li>

<li>Jeder Körper ist <a href="K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Oberkörper</a> seines Primkörpers.</li>

<li>Es lässt sich zeigen, dass die Ordnung jedes endlichen Körpers eine Potenz der Ordnung seines Primkörpers ist.</li>

<li>Alle Primkörper sind <a href="Starrer_K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Starrer Körper (Algebra)">starr</a>, d. h., sie besitzen nur den trivialen <a href="Automorphismus" title="Automorphismus">Automorphismus</a>. Der Primkörper eines beliebigen Körpers kann also auf eindeutige Weise mit einem der oben genannten Körper identifiziert werden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Christian_Karpfinger" title="Christian Karpfinger">Christian Karpfinger</a>, Kurt Meyberg: <i>Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.</i> Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 9783827420183, S. 209</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Martin Bossert: <i>Kanalcodierung.</i> 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1998, ISBN 3-519-16143-5, S. 35–36</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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